Acht praktische handvatten op school en in de les voor beter rekenonderwijs
Hoe je door automatisering van basisbewerkingen bij het rekenen betere reken- en wiskunderesultaten realiseert
Leestijd: 30 minuten
Je wilt het rekenonderwijs bij jou op school verbeteren. Omdat je ziet dat jullie meer kunnen bereiken met je leerlingen. En je realiseert je dat goede rekenprestaties essentieel zijn voor jullie leerlingen. Je staat niet alleen. In het Nederlands onderwijs staan de resultaten van rekenen en wiskunde al jaren onder druk. Was Nederland in het wiskundeonderwijs historisch gezien een van de sterkste landen ter wereld, dat is nu niet meer het geval. Met grote consequenties voor de schoolresultaten en vervolgopleidingen van deze leerlingen. De basis voor goede wiskundekennis wordt gelegd op de basisschool, waarbij het van het grootste belang is dat basisvaardigheden van rekenen worden aangeleerd en geautomatiseerd. Dit artikel beschrijft het belang van dit automatiseren van rekenbewerkingen voor het verhogen van reken- en wiskunderesultaten op school. We geven je daarvoor acht praktische handvatten voor in de lespraktijk. Het artikel is gebaseerd op wat onderzoek laat zien wat bewezen effectief is. Je kunt het artikel gebruiken als leraar of schoolleider in het basisonderwijs, de onderbouw van het middelbaar onderwijs of in het mbo.
Dit artikel is tot stand gekomen met medewerking van:
- Debbie Dussel, Leerkracht groep 7, basisschool De Polsstok
- Paul A. Kirschner, Emeritus Professor Onderwijspsychologie
- Peter Langerak, Opleider Scholen Nederlands Mathematisch Instituut
- Wied Ruijssenaars Emeritus Professor Orthopedagogiek
- Jaap Versfelt, Initiatiefnemer stichting leerKRACHT
- Loek Zonnenberg, Onderwijsverbeteraar en docent wiskunde Maerlant Lyceum
Hiervoor bieden we in dit artikel acht praktische handvatten voor op school en in de les. Om deze handvatten te begrijpen, geven we in deel A ‘Aanpakken van rekenvaardigheden’ achtergrondinformatie in vier kaders:
- Kader 1: De stand van zaken van het Nederlandse rekenonderwijs
- Kader 2: Het belang van het automatiseren van basisbewerkingen voor reken- en wiskunderesultaten
- Kader 3: Het onderscheid tussen automatiseren en memoriseren
- Kader 4: De relatie tussen automatiseren en het werkgeheugen
Is deze kennis bij jou bekend, dan kun je doorklikken naar deel B ‘Versterken automatiseren rekenvaardigheden met acht handvatten’. In dat deel B beschrijven we acht handvatten om het rekenonderwijs te versterken. Deze handvatten verdelen we over het rekenbeleid op school en het versterken van rekenlessen:
Versterken rekenbeleid op schoolniveau:
- Kies voor efficiënte rekenprocedures
- Plan voldoende tijd voor rekenen
- Zorg voor een kwaliteitscultuur op school
Versterken rekenlessen:
We sluiten het artikel af met de gebruikte bronnen, met per kader en per handvat bronnen die je kunt gebruiken om je verder te verdiepen.
Waarom vind je dit artikel op de leerKRACHT-site?
Het versterken van basisvaardigheden (lezen, rekenen, burgerschap) komen we veel tegen op de verbeterborden van scholen die met leerKRACHT werken. Maar, hoe kun je daar als lerarenteams in je schaarse tijd het meeste resultaat mee boeken? Dat vergt niet alleen gebruik maken van elkaars kennis, maar ook weten wat onderzoek zegt dat kan werken. Om teams overzicht te bieden over wat bewezen werkt zorgen we vanuit Doorloopjes.nl voor elk van deze basisvaardigheden voor een overzichtsartikel. Geschreven door onderzoekers en leraren samen. Dit artikel geeft je zo’n overzicht voor rekenen.
Deel A – Aanpakken van rekenvaardigheden
Een groot aantal leerlingen heeft problemen bij het halen van voldoende resultaat voor rekenen. Dat heeft grote implicaties voor hun vervolgopleiding en kansen later in het leven.
Bij de introductie van de referentieniveaus voor rekenen in 2009 was de ambitie dat minimaal 85% van de leerlingen aan het einde van het basisonderwijs het fundamentele niveau 1F beheerst en minimaal 65% het streefniveau 1S. Dit streefniveau wordt niet gehaald. Van de basisschoolleerlingen haalt 93% 1F voor rekenvaardigheid, terwijl maar de helft van de leerlingen het streefniveau 1S beheerst (48%).
Alhoewel het Nederlands rekenen en wiskundeonderwijs internationaal gezien relatief nog steeds van hoog niveau is, laten nationale en internationale onderzoeken de afgelopen 20 jaar helaas een neergaande trend zien.
TIMMS (een internationaal onderzoek naar het rekenniveau onder 10-jarigen) laat zien dat Nederland is teruggelopen van een score 549 in 1995 naar 538 in 2019. Dat komt overeen met ongeveer een half schooljaar aan gemiste rekenkennis. PISA (een internationaal geaccepteerde toets voor het wiskundeniveau onder 15-jarigen) laat zien dat Nederland is teruggelopen van een score 538 in 2003 naar 519 in 2018. Dat komt eveneens overeen met ongeveer een half schooljaar aan gemiste wiskundekennis.
Waarom is het belangrijk om deze negatieve ontwikkeling van reken- en wiskunderesultaten om te keren?
Allereerst omdat rekenvaardigheid een belangrijk voorspeller is voor wiskunde-prestaties later in de schoolcarrière. Daarnaast zijn lage reken- en wiskundeprestaties sterk gecorreleerd met diverse indicatoren van maatschappelijk welzijn in het latere leven, zoals vroegtijdig schoolverlaten, werkeloosheid en welzijn. Hoge prestaties in wiskunde zijn sterk gecorreleerd met indicatoren van maatschappelijk succes, zoals inkomen, huisvesting en het afronden van een hoger onderwijs opleiding.
Kader A2: Het belang van automatiseren van basisbewerkingen voor reken- en wiskunderesultaten
Om een trendbreuk in reken- en wiskunderesultaten te realiseren, moeten we op de basisschool het fundament voor rekenvaardigheid leggen. Divers onderzoek laat zien dat getalbegrip bij het jonge kind een voorspeller is voor rekenvaardigheden aan het begin van de basisschool. Kunnen tellen tot 20 (heen, terug en tellen vanaf een willekeurig punt) is verreweg de beste voorspeller. Vervolgens blijken deze initiële rekenvaardigheden een voorspeller van rekenprestaties in groep zeven van de basisschool. Ten slotte zijn resultaten op tienjarige leeftijd voorspellend voor wiskunderesultaten op 16 tot 19-jarige leeftijd.
Deze verbanden zijn logisch, omdat wiskundige-kennis voortbouwt op eerdere kennis. Als in het primair onderwijs geen goed fundament voor rekenen wordt gelegd, dan is op latere leeftijd een inhaalslag nodig.
De mate van automatisering van de basiskennis in het rekenen – startend met optellen en aftrekken binnen het eerste en tweede tiental – hangt positief samen met een succesvolle ontwikkeling in gevorderd rekenen en wiskunde. In rekenprocedures – bijvoorbeeld het van elkaar aftrekken van meercijferige getallen (zoals 82-36) – is het voordelig dat de leerling uitkomsten van grote sprongen met tientallen (82-30=52) en van kleine sprongen over het tiental (52-6=46) direct uit het geheugen kan oproepen. En niet apart hoeft uit te rekenen, zoals bijvoorbeeld 52-6=52-2-4=50-4=46). Deze bewerkingen direct uit het geheugen oproepen verkleint de kans op rekenfouten. Dat heeft twee redenen. De eerste reden is dat de leerling minder tussenbewerkingen hoeft uit te voeren, die elk fout hadden kunnen gaan. De tweede reden is dat de leerling minder informatie van tussenbewerkingen hoeft te onthouden, informatie die de leerling zou kunnen vergeten.
Automatisering van rekenkennis geeft de leerling zo meer verwerkingscapaciteit voor complexere berekeningen. En daarmee helpt automatisering de school om reken- en wiskunderesultaten te verhogen.
Kader A3: Het onderscheid tussen automatiseren en memoriseren
De basiskennis van rekenen bestaat zowel uit procedures (hoe doe je iets) als uit feiten (wat is iets). Voorbeelden van procedures zijn: tellend optellen, aftrekken met sprongen, vermenigvuldigen door herhaald optellen en delen door herhaald aftrekken. Voorbeelden van feiten zijn: direct weten dat 9+5=14, dat 8×8=64 en dat de 6 in 64 verwijst naar zes tientallen.
Dit bedoelen we met automatisering en memoriseren van deze basiskennis:
- Automatiseren is een stap-voor-stap-proces van leren van een procedure en deze procedure correct en vlot uitvoeren. In het rekenonderwijs is dat ‘rekenhandelingen vrijwel routinematig uitvoeren’. Voordat een leerling antwoord geeft op een som voert hij of zij snel enkele ‘ingesleten’ denkstappen uit. Voor een goed begrip van wat automatiseren is, moeten we ons realiseren dat het niet om ‘stampen’ of ‘snelheid’ gaat, maar om een inzichtelijk leerproces. Het kenmerk van dit leerproces is het verhogen van de kwaliteit van wat de leerling weet en kan. In het ideale geval is die kwaliteit zodanig dat het geleerde op elk moment en in elke situatie vlot en foutloos beschikbaar is en efficiënt toepasbaar. De basiskennis is dan volledig geautomatiseerd en onderdeel van het kennisrepertoire van de leerling.
- Memoriseren is het in het lange-termijn geheugen opslaan van kennis die daarna als feitenkennis is op te halen. In het rekenonderwijs is dat “het uit het hoofd kennen van de antwoorden van sommen”. Een voorbeeld daarvan is het bij elkaar optellen van twee getallen. Na voldoende oefening en herhaling kán deze procedure (d.w.z. het automatiseren daarvan) uitmonden in direct uit het geheugen oproepbare feitenkennis. Zoals 9+5=14 of 8×8=64. Daarbij is – vanuit een inzichtelijk leerproces – gememoriseerde feitenkennis ontstaan, alsof het van buiten is geleerd. Echter, 9+5=14 alleen memoriseren, is onvoldoende. Het gevaar van het memoriseren van uitkomsten (’14’), zonder het inslijten van de procedure (9+1=10. 10+4=14) die tot die uitkomst leidt, is dat geen begrip wordt gecreëerd. Begrip dat nodig is voor correcte toepassing van de rekenprocedure. Ten slotte betreft memoriseren ook het van buiten leren van feiten, zoals weten dat 7 het symbool voor ‘zeven’ is, of weten dat in de notatie van een breuk de teller boven en de noemer onder de streep staat.
Kader A4: De relatie tussen automatiseren en het werkgeheugen
We beschreven eerder dat als een rekenprocedure niet is geautomatiseerd, dit het uitvoeren van complexere bewerkingen in de weg staat. Omdat het werkgeheugen van de leerling dan te zwaar wordt belast. Waarom is dat zo? En wat kun je met deze kennis?
Het menselijk geheugen kan schematisch worden beschreven in drie onderdelen (figuur 1):
Figuur 1: Schematische weergave van informatieverwerking in het menselijk geheugen (gebaseerd op Baddeley en Hitch, 1974)
- Sensorisch geheugen. Voortdurend krijgen wij prikkels binnen via onze vijf zintuigen (circa 11 miljoen bits per seconde). Deze prikkels komen in onze hersenen binnen via ons sensorisch geheugen, waar een ‘beslissing’ wordt genomen om al dan niet op deze prikkel te letten. Als wij niet op een binnenkomende prikkel letten, dan is het is alsof deze prikkel nooit bestond. Denk daarbij aan allerlei achtergrondgeluiden die wij niet bewust waarnemen.
- Werkgeheugen. Als wij echter wel opletten, dan houden we die specifieke prikkels even in ons werkgeheugen vast. Het werkgeheugen is echter zeer beperkt qua tijd (zonder iets ermee te doen is de informatie binnen 20 seconden weg) en beperkt qua omvang (met ruimte voor circa 5 tot 7 nieuwe dingen tegelijk). Wij kunnen echter informatie in deze korte tijd op een bruikbare manier organiseren en vervolgens integreren en opslaan in wat wij al weten.
- Lange termijn geheugen. Dat opslaan doen wij in ons lange termijn geheugen. Dat organiseren doen we in de vorm van kennisschema’s. Ons lange termijn geheugen is vrijwel onbeperkt in capaciteit. Wij kunnen later deze opgeslagen kennis uit de opgeslagen schema’s ophalen en gebruiken bij het verwerken van nieuwe informatie in ons werkgeheugen. Kennis die we op deze manier uit het lange termijn geheugen halen neemt geen ruimte in binnen ons (beperkte) werkgeheugen.
Wat is dan de relatie van deze drie types geheugen en rekenbewerkingen? We nemen 49+23 weer als voorbeeld. Als wij ‘49+23’ lezen dan komt dat via ons sensorisch geheugen in ons werkgeheugen. Hoe rekenen we 49+23 uit op een manier die het werkgeheugen zo weinig mogelijk belast:
- Leer leerlingen rekenprocedures aan die het werkgeheugen zo weinig mogelijk belasten. We kunnen 49+23 uitrekenen met een splitsprocedure of een rijgprocedure. In paragraaf 1.1. hieronder laten we zien dat splitsen het werkgeheugen veel zwaarder belast dan rijgen. We kunnen daarom beter de efficiëntere rijgprocedure gebruiken.
- Zorg dat leerlingen feitenkennis memoriseren. Binnen de rijgprocedure moeten we als eerste de volgende berekening maken: 49+20=69 (en daarna 69+3=72). Idealiter haalt de leerling na voldoende oefening en herhaling het antwoord op 49+20=69 uit het lange termijn geheugen op. Echter, als 49+20=69 niet in het lange termijn geheugen is opgeslagen, dan gaat het uitrekenen ervan ten koste van de beperkte ruimte binnen ons werkgeheugen.
Laten we nog een misverstand wegnemen. Je zou kunnen denken ‘als het werkgeheugen zo belangrijk is, kunnen we dat geheugen dan trainen en zo groter maken?’ Dit heeft echter geen zin. Onderzoek laat zien dat oefeningen die tot doel hebben om het werkgeheugen te versterken niet leiden tot beter en meer geautomatiseerd rekenen.
Concluderend, als wij efficiënte rekenprocedures kiezen en rekenkennis automatiseren en memoriseren, dan maken we daarmee ruimte vrij in ons werkgeheugen voor het uitvoeren van complexere berekeningen.
Deel B – Versterken automatiseren rekenvaardigheden met acht handvatten
Scholen die aan de slag gaan met het automatiseren van rekenvaardigheden van hun leerlingen bereiken meer met hun leerlingen. Dat blijkt uit het rapport ‘Automatiseren basisbewerkingen bij rekenen en wiskunde’ van de Onderwijsinspectie. Maar wat werkt bij het automatiseren van rekenvaardigheden? We hebben op basis van onderzoek acht handvatten geselecteerd die in de praktijk hun waarde bewezen hebben. Daarbij is het niet onze bedoeling je een uitputtende lijst van werkende principes te geven, maar die handvatten op een rijtje te zetten die je praktisch kunt toepassen op school en in de les. Dit zijn:
Versterken rekenbeleid op schoolniveau:
- Kies voor efficiënte rekenprocedures
- Plan voldoende tijd voor rekenen
- Zorg voor een kwaliteitscultuur op school
Versterken rekenlessen:
- Verhoog kwaliteit rekeninstructie
- Versterk getalbegrip bij het jonge kind
- Pas formatief handelen toe
- Vergroot zelfvertrouwen op basis van ervaren succes
- Geef technische ondersteuning aan de leerling
Hieronder werken we elk van deze acht handvatten uit, inclusief concrete aanbevelingen hoe je deze in de lespraktijk kunt toepassen.
Handvat 1 - Kies samen voor efficiënte rekenprocedures en bied deze één voor één aan
Voor het automatiseren van basiskennis is het van belang dat je kiest voor één efficiënte basisprocedure per rekenbewerking en deze geïsoleerd aanbiedt aan de leerlingen. Nadat deze zo’n basisprocedure hebben geautomatiseerd, bied je de leerlingen alternatieve procedures aan om mee te oefenen.
Gebruik hiervoor de volgende stappen:
1.1. Kies voor efficiënte basis-procedures per rekenbewerking
Een ‘efficiënte’ procedure voor een rekenbewerking is een procedure die het werkgeheugen zo min mogelijk belast. Leerlingen met rekenproblemen volgen vaak een procedure met veel tussenstappen die hun werkgeheugen zwaarder belast, waardoor zij een grotere kans hebben op fouten en het vergeten van tussenuitkomsten.
Voorbeeld van een complexe en een efficiënte procedure bij de som 49+23:
- Complexe splitsprocedure. De leerling splitst 49+23 in 40+20 en 9+3. Daarna rekent de leerling 4+2 uit tot 6 en voegt het tiental (de ‘0’) toe en komt tot 60. Vervolgens rekent de leerling 9+3 uit door weer te splitsen: 9+1=10 en 10+2=12. De tussenresultaten 60 en 12 telt de leerling op door nog een keer te splitsen: 60+10=70 en 70+2=72. In totaal zijn dit zeven stappen voor de leerling.
- Efficiënte rijgprocedure. De leerling rijgt 49+23 door 49+20 direct uit te rekenen tot 69. Vervolgens telt de leerling bij 69 het restant 3 op tot 72. In totaal zijn dit (maar) twee stappen.
Uit onderzoek blijkt dat zwakke rekenaars door een tekort aan geautomatiseerde rekenkennis kiezen voor complexe rekenprocedures. Wanneer de leerling 49+20 niet zonder tussenstappen uit het lange termijn geheugen kan halen, dan moet de leerling gedwongen gaan splitsen: 40+20=60 en 60+9=69. Zo’n keuze voor complexere procedures leidt tot veel fouten, trage automatisering en gebrekkige succesbeleving. Minder successen boeken werkt bovendien demotiverend.
Daarom is het van groot belang dat de school per rekenbewerking kiest voor één efficiënte basis-rekenprocedure die wordt aangeleerd en geautomatiseerd. Daarnaast maak je als school afspraken welke rekenprocedure je in welke leerjaar aanbiedt.
1.2. Bied rekenprocedures eerst geïsoleerd aan, ga daarna variëren
Om een rekenprocedure aan te leren is het van belang dat je deze eerst geïsoleerd aanbiedt. Daarna kan je het leren versterken door leerlingen verschillende rekenprocedures door elkaar heen te laten oefenen.
Een rekencurriculum waarbij telkens één basis-rekenprocedure centraal staat, zorgt voor een leerproces bij de leerlingen dat zowel efficiënter (minder belasting van het werkgeheugen en ook sneller) als effectiever (succesvol leren) is. Daar zijn drie redenen voor:
- Minder belasten van het werkgeheugen. Als in een les één rekenprocedure centraal staat, wordt het werkgeheugen van de leerlingen optimaal benut. Als leerlingen bij het maken van een rekenopgave verschillende rekenprocedures moeten vergelijken en afwegen, wordt het werkgeheugen al snel overbelast. Immers, het onderling vergelijken van die rekenprocedures kost geheugenruimte, die daarmee onvoldoende ten goede komt aan het automatiseren van één rekenprocedure.
- Sneller aanpakken van fouten. Voor leerlingen is het veel duidelijker wanneer ze de basis-rekenprocedure goed uitvoeren en waar ze eventueel een fout maken. Bij fouten is het bovendien voor de leraar duidelijker en makkelijker om hulp en extra instructie te geven voor die ene rekenprocedure.
- Meer succeservaringen. Voor leerlingen is de kans op succeservaringen groter als er één basis-rekenprocedure aangeleerd wordt, wat hun motivatie vergroot.
Nadat leerlingen een rekenprocedure hebben geautomatiseerd, kun je hun leren versterken door te variëren met verschillende rekenprocedures. Zo kun je bijvoorbeeld 49+23 ook ‘handig’ uitrekenen met (50-1)+23=50+23-1=73-1=72. Door zo te variëren met verschillende procedures creëer je ‘wenselijke moeilijkheden’, waardoor leerlingen beter leren. Leerlingen vergelijken alternatieve procedures en toetsen deze tegen de basis-rekenprocedure die ze hebben geautomatiseerd. Dit stimuleert het kritische denken bij de leerlingen, omdat ze zelfstandig in staat zijn om afwegingen en vergelijkingen te kunnen maken. Voor zwakke rekenaars kan deze variatie-stap te moeilijk blijken en eventueel achterwege blijven.
1.3. Pas deze aanbevelingen toe met de eigen rekenmethode
In de rekenmethode die je op school gebruikt worden meerdere rekenprocedures (ook wel rekenstrategieën of oplossingsstrategieën genoemd) aangeboden om een rekenbewerking uit te voeren. Schoolteams volgen vaak de schoolmethode met deze veelheid aan rekenprocedures. Ervan uitgaand dat je als schoolteam graag gebruik blijft maken van de bestaande rekenmethode, maak je als team drie keuzes binnen deze methode:
- Maak een keuze voor de volgorde van aan te bieden rekenbewerkingen. Als eerste spreek je als team af in welke volgorde jullie de verschillende rekenbewerkingen aanbieden. Daarbij houd je rekening met de kennis die elk van die bewerkingen vergt. Laten we drie voorbeelden geven:
- Het optellen tot 20: deze bewerking vergt het beheersen van de getallenrij tot 20 en het kunnen optellen en aftrekken van getallen tot tien. Zij komt daarom pas nadat die voorafgaande kennis is opgebouwd.
- Procentsommen: deze bewerking vergt weten dat ‘procent’ betekent: per 100, het beheersen van optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen en ten slotte vaardigheid in het werken met verhoudingstabellen. Daardoor komt deze bewerking pas later in het curriculum.
Een voorbeeld van een volgorde in rekenbewerkingen is het ‘rekenmuurtje van Bareka’.
- Maak een keuze voor één basis-procedure per rekenbewerking. Die procedure voldoet aan twee eisen: hij is efficiënt (weinig stappen die het werkgeheugen belasten) en hij werkt altijd. Dat ‘werkt altijd’ sluit handigheidjes uit die alleen in speciale gevallen werken. Zoals bijvoorbeeld 49+23=(50-1)+23=50+23-1=73-1=72. Laten we weer drie voorbeelden geven van basisprocedures:
- Het optellen tot 20: dit kan bijvoorbeeld met de procedure aanvullen naar een tiental en vervolgens verder te tellen. Daarvoor kan initieel gebruik worden gemaakt van een getallenlijn om uit te tellen hoe groot de sprong tot het tiental is. Bijvoorbeeld voor de som 9+7 is de eerste stap 9+1=10. Van de 7 heb je er nu 1 bij opgeteld en resteren er 6 (=7-1). Die rest van 6 moet je nu nog optellen bij de 10 en vormt daarmee 16.
- Procentsommen: voor het oplossen van procentsommen kun je de verhoudingstabel als basis gebruiken. Daarmee kan de leerling uitrekenen wat een percentage is van een bepaald cijfer. Zie bijvoorbeeld de verhaaltjessom in figuur 2. De eerste stap in de som is het uitrekenen van het kortingsbedrag met een verhoudingstabel (17% van €300=€51). De tweede stap in deze som is berekenen van de prijs middels het aftrekken van deze korting van de normale prijs (€300 – €51=€249).
Figuur 2: Procentsommen
- Kies een instructievorm per basis-procedure. Vervolgens spreekt je als team af welke instructie wordt gegeven per basis-procedure. Maak daarbij zoveel mogelijk gebruik van instructieprincipes die bewezen effectief zijn, zoals bijvoorbeeld dagelijks, wekelijks en maandelijks herhalen. In de volgende paragraaf (‘verhogen kwaliteit rekeninstructie’) geven we hier een tweetal voorbeelden van.
Een alternatief voor het gebruik van de eigen methode is gebruik te maken van methodieken zoals ‘Zo leer je kinderen rekenen’ of ‘Foutloos Rekenen’. Het boek Berekend! biedt eveneens handreikingen. Al deze methodieken kennen een vaste volgorde van basisbewerkingen, basis-procedures per rekenbewerking en instructievormen per procedure.
Handvat 2 - Plan voldoende tijd voor rekenen
Wanneer besteed je voldoende tijd aan rekenen? Onderzoek laat zien dat hier geen vast antwoord op is. Wat bepaalt of je voldoende tijd besteed aan rekenen is of leerlingen de stof leren beheersen.
Misschien met uitzondering van het aanleren van de tafels, is specifiek tijd besteden aan memoriseren geen goed idee. Waarom niet? Omdat wat we beogen – het automatiseren van kennis – meer is dan alleen het weten van het antwoord op een rekensom. Alleen memoriseren van uitkomsten creëert geen inzicht in waarom iets werkt en ook niet in hoe je dat kunt toepassen.
Hoe moet je dan wel nadenken over tijd besteden aan rekenen in je lessen. Twee suggesties:
2.1. Niet de rekenmethode, maar beheersing door leerlingen bepaalt het tempo
Dit wordt in de literatuur ‘beheersingsleren’ (mastery learning) genoemd. Het idee is dat leerlingen de beoogde kennis moeten leren beheersen, voordat ze nieuwe kennis opdoen. Laten we twee voorbeelden geven:
- Sprong over het tiental. Als je 6+8 wilt uitrekenen moet je eerst twee type bewerkingen zonder sprong over het tiental beheersen: 6+4=10 en 10+4=14. Idem voor aftrekken. Het heeft pas zin om een leerling de som 16-8 te geven als de leerling 16-6=10 en 10-2=8 kan uitrekenen.
- Optellen van breuken. Als je 1/2+2/6 wilt uitrekenen zijn er verschillende mogelijkheden. Bijvoorbeeld gelijknamig maken van de som, door zowel de teller als de noemer van 1/2 met 3 te vermenigvuldigen. Daarna is 3/6+2/6=5/6 uit te rekenen. Een andere mogelijkheid is dat de leerling uit het hoofd geleerd heeft dat 1/2 hetzelfde is als 3/6. Vermenigvuldigen is dan niet nodig. Maar in beide voorbeelden is beheersing van voorkennis vereist om verder te kunnen.
2.2. Plan dagelijkse herhaling van de stof in
Zoals we zullen bespreken in de paragraaf Verhogen kwaliteit rekeninstructie is het herhalen van de stof cruciaal voor het opslaan van kennis in het lange termijn geheugen. Om herhalen goed te laten werken moet je op vier dingen letten:
- Herhaal vaak genoeg. Zoals we eerder noemden tel je In het dagelijks leven en op school vaker cijfers bij elkaar op dan dat je ze van elkaar aftrekt. Dat verklaart waarom leerlingen meer moeite hebben met aftrekken dan met optellen. Je moet daarom aftrekken vaker oefenen dan optellen. En datzelfde geldt voor andere bewerkingen die minder vaak voorkomen.
- Herhaal gespreid. Dat wil zeggen zowel de stof van gisteren, maar ook die van vorige week of vorige maand.
- Vermijd het maken van fouten. Je moet voorkomen dat leerlingen misvattingen ontwikkelen en deze opslaan in hun geheugen. Daarom is overhoren belangrijk.
- Verhoog stap voor stap het tempo. Als een leerling de stof goed beheerst, dan kun je geleidelijk het tempo van de bewerkingen opvoeren. Let op dat dat niet te snel gaat, omdat de leerling anders fouten gaat maken.
Handvat 3 - Zorg voor een kwaliteitscultuur op school
Uit onderzoek in 2020 van de Onderwijsinspectie en van McKinsey blijkt dat scholen meer bereiken met hun leerlingen als het lerarenteam en de schoolleider samen het onderwijs doelgericht verbeteren. Op dergelijke scholen wordt systematisch gewerkt aan onderwijskwaliteit, door het ontwikkelen van een visie op goed onderwijs, focus op de kernvakken, evaluatie van resultaten en bijsturen waar nodig. Daarnaast constateert de Inspectie dat deze scholen een professionele cultuur hebben, waarbinnen het team hoge ambities heeft en duidelijke keuzes maakt voor hun prioriteiten, leraren samenwerken aan hun lespraktijk en er een klimaat van onderling vertrouwen is.
Niet alleen de brede resultaten van de school gaan omhoog met zo’n cultuur, dit geldt in het bijzonder voor de kernvakken. In haar analyse van schoolverschillen rond rekenen en wiskunde in 2011 zag de Inspectie dat bovengemiddeld presterende scholen het automatiseren van rekenen systematische evalueren. Afspraken over dat automatiseren worden op deze scholen vastgelegd. Bovendien evalueert de school systematisch of het onderwijs ook voldoet aan deze afspraken.
Voor het creëren van zo’n professionele of ‘lerende’ cultuur waarmee gericht wordt gewerkt aan het verbeteren van onderwijsresultaten geeft de NRO in haar ‘Leidraad werken aan onderwijsverbetering’ in 2022 zes concrete handvatten:
- Kom tot een onderbouwd en gedragen verbeterplan
- Zorg voor een proces van uitvoeren, monitoren, bijstellen en borgen
- Stimuleer een onderzoekende houding
- Stimuleer samen leren in het team
- Benut kennis en expertise
- Creëer een schoolklimaat waarin leiderschap wordt gespreid
In het artikel van de NRO wordt hierbij gewezen naar leerKRACHT als een bewezen werkende werkwijze om zo’n lerende cultuur te verwerken.
Handvat 4 - Verhoog kwaliteit rekeninstructie
Een klassieke discussie binnen het onderwijs gaat over de mate van directheid of explicietheid van de instructie. Er is een groep leerlingen die met weinig expliciete instructie leert, maar onderzoek laat zien dat de meeste leerlingen gebaat zijn bij een systematische lesopbouw, expliciete instructie, voldoende oefening en herhaling.
Voor sommige leerlingen is zelfs dat onvoldoende. Zij hebben een langere periode van sterk gestructureerde instructie nodig dan andere. Van de leerkracht vraagt dit daarom te kunnen differentiëren binnen de instructieprincipes, bijvoorbeeld door verschillen in de uitgebreidheid van het voor- en nadoen of in de hoeveelheid benodigde oefening.
Hoe ziet hoge kwaliteit instructie er uit? Daarbij grijpen we terug op het werk van Barak Rosenshine. Het is vooral Rosenshine geweest die het begrip “directe instructie” in het onderzoek naar effectief onderwijzen introduceerde. In 2010 publiceerde deze onderzoeker tien instructieprincipes die gebaseerd zijn op de cognitieve wetenschap en op het onderzoek naar de praktijk van expertleraren. De instructieprincipes van Rosenshine zie je terug in dit, in scholen veelgebruikte, directe instructiemodel.
We beschrijven deze principes en geven voorbeelden hoe dit toe te passen in rekenonderwijs. Dat doen we met twee voorbeelden ‘de getallenlijn tot 1000’ en ‘optellen en aftrekken tot 20’. Om de tien principes makkelijker te begrijpen kun je ze in vier categorieën groeperen: herhalen, vragen stellen, nieuwe concepten aanbieden en oefenen (zie figuur 3). We beschrijven deze categorieën en geven concrete voorbeelden hoe je de tien principes in de lespraktijk toepast:
4.1. Zorg voor dagelijks, wekelijks en maandelijks herhalen
Wees niet verbaasd als leerlingen niet direct alles onthouden, dat doen ze niet! Herhalen is een sterke techniek om kennis te automatiseren en zelfvertrouwen te creëren. Dagelijks herhalen zorgt ervoor dat wat leerlingen eerder leerden weer beschikbaar is. Door wekelijks en maandelijks te herhalen slaan zij kennis beter op in hun lange termijn geheugen.
Figuur 3: De tien instructieprincipes van Rosenshine
| Principe: Zorg voor dagelijks herhalen | Voorbeeld: getallenlijn tot 1.000 | Voorbeeld: optellen en aftrekken tot 20 |
|---|---|---|
| Zorg voor dagelijks herhalen. Eigenlijk begint Rosenshine met dit principe, omdat het een goed idee is om leerlingen eerst hun voorkennis te laten ophalen voordat nieuwe kennis wordt behandeld. Zorg daarom voor dagelijkse herhaling van de behandelde stof. | Je herhaalt wat de kinderen hebben geleerd rond het doel waar je mee bezig bent. Stel je bent net begonnen met de getallenlijn: 1) wat is dit voor getal (‘541’), 2) welk getal staat bij dit vraagteken (‘813’). Stel dat je verder bent dan maak je de vragen moeilijker. Bijvoorbeeld: 1) raad het getal in mijn hoofd (‘671’), 2) maak het hoogste getal met deze vier getallen (‘1, 9, 5 en 6’), 3) een vraag in de vorm van een verhaalsommetje: ‘De autoroute is 1.000 kilometer, ben je dan over de helft bij 567 kilometer?’ | Je herhaalt wat de kinderen hebben geleerd rond het doel waar je mee bezig bent. Waarbij je met name de moeilijke sommen met een sprong over het tiental herhaalt. Hierbij is het leuk en praktisch een ‘getal van de dag’ te gebruiken. Bijvoorbeeld ’17’. Dan kun je vragen stellen zoals: 1) bedenk zoveel mogelijk sommen waarbij het antwoord ’17’ is 2) reken deze som uit 8+9: welke stappen zet je op het rekenrek? 3) gebruik een verhaalsom: ‘je koopt een bal van € 17 en betaalt met € 20. Hoeveel krijg je terug?’ 4) gebruik een ‘stip’-som: 5+.. = 17 5) werk met flits-sommen met kaarten met aan de ene kant de vraag en aan de andere kant het antwoord 6) bedenk een voorbeeld bij deze som: 3+14=17. |
| Principe: Zorg voor wekelijks en maandelijks herhalen | Voorbeeld: getallenlijn tot 1.000 | Voorbeeld: optellen en aftrekken tot 20 |
|---|---|---|
| Zorg voor wekelijks en maandelijks herhalen. Vaker herhalen is nodig om goed verbonden en geautomatiseerde kennis te ontwikkelen. Door wekelijks en maandelijks te herhalen onthouden leerlingen de lesstof ook beter. Daarbij variëren in het herhalen versterkt deze ‘transfer’ naar het lange termijn geheugen van leerlingen. | Stel dat je een een paar weken geleden het doel ‘getallenlijn tot 1000’ afgerond. Dan blijf je nog enige tijd terugkomen op dat doel. Dus tijdens dat volgende onderwerp laat je de leerlingen nog met enige regelmaat oefenen met de getallenlijn. Met welke oefeningen? Dat zijn dezelfde oefeningen die je gebruikte bij het dagelijks herhalen. | Stel dat je een een paar weken geleden het doel ‘optellen en aftrekken tot 20’ afgerond. Dan blijf je nog enige tijd terugkomen op dat doel. Dus tijdens dat volgende onderwerp laat je de leerlingen nog met enige regelmaat oefenen met dit vorige doel. Met welke oefeningen? Dat zijn dezelfde oefeningen die je gebruikte bij het dagelijks herhalen. Wat daarnaast goed werkt als herhaling zijn spelletjes. Bijvoorbeeld met dobbelstenen gooien tot de gegooide getallen samen 20 zijn. Op de website www.rondjerekenspel.nl vind je voorbeelden van deze ‘drempel-spellen’. |
4.2. Stel vragen
Belangrijk is meer vragen te stellen aan meer leerlingen met meer diepte. Niet alleen productvragen (‘wat is ..?’) maar ook procesvragen (‘hoe kun je ..?’). En daarbij te achterhalen hoe leerlingen tot hun antwoorden komen. Om daarmee als leraar feedback te krijgen over hoe goed je de stof hebt onderwezen en om misverstanden bij leerlingen aan te pakken door hen feedback te geven.
| Principe: Stel denkvragen | Voorbeeld: getallenlijn tot 1.000 | Voorbeeld: optellen en aftrekken tot 20 |
|---|---|---|
| Stel denkvragen. Rosenshine benadrukt dat vragen stellen een dubbel doel dient. Allereerst geeft het leerlingen de gelegenheid te oefenen. Maar daarnaast stelt het de leraar in staat te bepalen hoe goed de lesstof is geleerd en op op basis daarvan te beslissen of aanvullende instructie nodig is. | De vragen die je stelt hangen af wat de leerlingen al weten en kunnen. Dat wil zeggen dat als ze verder zijn je vragen complexer zijn. De taxonomie van Bloom kan dienen als een inspiratiebron voor het bedenken van deze vragen. Laten we een aantal voorbeelden geven: 1) Onthouden: ‘welk getal komt er na 540?’ 2) Begrijpen: ‘welk getal staat hier op de getallenlijn?’ 3) Toepassen: ‘plaats 541 op de getallenlijn’ 4) Analyseren: ‘welke van deze getallen op de lijn klopt niet?’ 5) Evalueren: ‘wanneer zou 541 weinig zijn?’ wanneer heel veel?’ en 6) Creëren: ‘bedenk een voorbeeld bij drie getallen op de getallelijn’ | De vragen die je stelt hangen af wat de leerlingen al weten en kunnen. Dat wil zeggen dat als ze verder zijn je vragen complexer zijn. De taxonomie van Bloom kan dienen als een inspiratiebron voor het bedenken van deze vragen. Laten we een aantal voorbeelden geven: 1) Onthouden: ‘hoeveel is 5+12 alweer? en 5+12?’ 2) Begrijpen: ‘hoe reken je deze som uit: 14-6=..?’ 3) Toepassen ‘bedenk vier sommen die horen bij 7+8=15’ 4) Analyseren: geef de leerlingen een plaatje met drie aardbeien en één appel. Vraag: ‘Samen zijn ze € 15,- waard. De appel kost € 6. Wat kost een aardbei?’ 5) Evalueren: ‘op welke manieren kun je deze som uitrekenen? 16-9=..’ en 6) Creëren: ‘bedenk zoveel mogelijk sommen die het getal 17 opleveren’ |
| Principe: Controleer op begrip | Voorbeeld: getallenlijn tot 1.000 | Voorbeeld: optellen en aftrekken tot 20 |
|---|---|---|
| Controleer op begrip. Het belangrijkste punt is dat je vragen stelt zoals ‘wat heb je begrepen?’ en niet het retorische ‘heb je het begrepen?’. Door deze vragen te stellen helpt de leraar de leerlingen het verband te leggen tussen ideeën en concepten en zo hun begrip te verdiepen. Bovendien waarschuwt het de leraar dat aspecten van de lesstof mogelijks nogmaals onderwezen moeten worden. | Nadat je de getallenlijn hebt behandeld stel je de leerlingen vragen. Stel niet alleen productvragen maar ook procesvragen. Voorbeelden van productvragen zijn ‘welk getal staat er bij het vraagteken op deze getallenlijn?’ en van procesvragen ‘hoe bepaal je de positie van een getal op de getallenlijn?’ | Nadat je optellen en aftrekken hebt behandeld stel je de leerlingen vragen. Stel niet alleen productvragen maar ook procesvragen. Voorbeelden van productvragen zijn ‘geef een voorbeeld van een som met de getallen 7 en 8?’ en van procesvragen’hoe reken je 7+8 uit?’ |
4.3. Bied nieuwe concepten in kleine stappen aan
Nieuwe rekenprocedures moet je leerlingen in kleine stappen aanbieden, met bij elke stap oefening om zelfvertrouwen op te bouwen. Daarbij helpt het om als leraar voor te doen hoe je een opdracht aanpakt. Door hardop alle stappen te doorlopen en te laten zien wat de leerlingen moeten doen (dit noemt men model-leren). Ten slotte is voor ingewikkelde stappen nodig om gepaste ondersteuning te bieden: je biedt een ‘steiger’ die je stap voor stap weghaalt.
| Principe: Presenteer lesstof in kleine stapjes | Voorbeeld: getallenlijn tot 1.000 | Voorbeeld: optellen en aftrekken tot 20 |
|---|---|---|
| Presenteer lesstof in kleine stapjes. Knip het onderwerp in kleine stukjes. De ideale grootte van de stappen zal afhangen van de aanwezige voorkennis en het zelfvertrouwen van de leerlingen. Zorg dat leerlingen niet teveel stappen tegelijk oefenen. Laat ze stap voor stap zelfvertrouwen kweken. VB. Kinderen kunnen optellen tot 100. Betekent: sommen tot 100 vlot uitrekenen, met een basis-procedure, zonder getallenlijn, tot de 20 gememoriseerd. Als je dat weet en je gaat lessen maken moet je dit eerst weten. Dan pas kun je de kleine stapjes bedenken. | Stel, je wilt een kind laten het getal 541 op de getallenlijn laten aanwijzen. Daarvoor moet het kind een aantal dingen kennen of kunnen. Bijvoorbeeld: 1) weten hoe een duizendtal is opgebouwd uit honderdtallen, tientallen en eenheden 2) een getal kunnen vinden op een getallenlijn en 3) de getallenrijen 100-200-300-.. tot 1000 kennen. Om de stap tot 541 niet in één keer te maken maak je het klein. Dus begin met een volledig ingevulde getallenlijn (streepjes en cijfers erbij) en een uitgewerkte voorbeeld hoe je 541 vindt, met de sprongen 100-200-300-400-500-10-20-30-40-1 erboven. | Stel, je wilt een kind laten het getal 541 op de getallenlijn laten aanwijzen. Daarvoor moet het kind een aantal dingen kennen of kunnen. Bijvoorbeeld: 1) weten hoe een duizendtal is opgebouwd uit honderdtallen, tientallen en eenheden 2) een getal kunnen vinden op een getallenlijn en 3) de getallenrijen 100-200-300-.. tot 1000 kennen. Om de stap tot 541 niet in één keer te maken maak je het klein. Dus begin met een volledig ingevulde getallenlijn (streepjes en cijfers erbij) en een uitgewerkte voorbeeld hoe je 541 vindt, met de sprongen 100-200-300-400-500-10-20-30-40-1 erboven. |
| Principe: Doe het voor | Voorbeeld: getallenlijn tot 1.000 | Voorbeeld: optellen en aftrekken tot 20 |
|---|---|---|
| Doe het voor. De leraar doet hardop voor hoe je een opdracht aanpakt. Je laat stap voor stap zien wat de leerlingen moeten doen en benoemt de onderliggende principes. | Je laat de leerlingen een volledig ingevulde getallenlijn zien en vertelt: “Hier begint hij bij nul. Hij eindigt bij 1000. Hier zie je 100-200-300-… Elke grote streep betekent dat je een honderdtal verder bent. Nou kijken we hier naar de streepjes die ertussen staan. Elk streepje staat voor 10. 10-20-30-40. Nu gaan we het getal 540 opzoeken. Doe maar met me mee. Eerst de 100-200-300-400-500. Nu gaan we kleine sprongen maken 10-20-30-40. Nu zijn we bij 540. Eén verder en we hebben 541 bereikt.” | We nemen de stap met het rekenrek en de som hierboven. Start met ‘Jongens en meisjes, we gaan leren aftrekken over het tiental via de tien’. Eerst vertel je ‘Ik heb 14 eieren en ik ga er 6 bakken. Ik wil weten: hoeveel houd ik erover?’. Vraag jezelf af ‘Wat is dan de som die ik moet maken? Nou, dat is 14-6’. Daarna zet je 14 op op het rekenrek: eerst zet je 10 op en meteen daarna nog eens 4. Zeg dan ‘Nu ga ik er zes weghalen, want ik ga er 6 bakken. Ik haal er eerst 4 weg om bij de tien te komen. Want 14-4 = 10. Hoeveel moet ik er dan nog weghalen? Dat zijn er 2. Waarom? Want 6 = 4 en 2. Daarom haal ik ik er nog 2 weg. Hoeveel houd ik er dan over? Dat zijn er 8. Ik heb dus van de 14 eieren heb ik er 6 gebakken en 8 over. Laat ze deze voorbeeldsom in hun schrijft opschrijven om later nog te kunnen herhalen. |
| Principe: Bied gepaste ondersteuning | Voorbeeld: getallenlijn tot 1.000 | Voorbeeld: optellen en aftrekken tot 20 |
|---|---|---|
| Bied gepaste ondersteuning. Volgens Rosenshine nemen effectieve leraren leerlingen mee op een ‘cognitieve stage’ door gepaste ondersteuning te bieden, zo helpen ze leerlingen ambitieuze doelen te behalen. Gepaste ondersteuning is altijd tijdelijk, zie het als een steiger: als het project klaar is worden de steigers weer weggehaald. | In bovenstaand voorbeeld kun je de ondersteuning op verschillende manier vormgeven. Een voorbeeld van gepaste ondersteuning is de mate waarin de getallenlijn nog ingevuld is: begin met een volledig ingevulde getallenlijn met alle getallen en streepjes, laat dan getallen of streepjes weg en stap dan over op een lege getallenlijn (dat wil zeggen, alleen een horizontale streep) | In bovenstaand voorbeeld hebben we laten zien hoe we stap voor stap steeds minder ondersteuning bieden. We begonnen met de eierdoos, daarna het rekenrek (of de kralenketting), daarna via de getallenlijn en ten slotte de geschreven som. Een alternatief is bij het einde beginnen met een uitgewerkt voorbeeld en dan stappen weglaten, die de leerlingen zelf moeten bedenken. Bijvoorbeeld: 1) wat is de som 14-6 2) hoe zet je het op ophet rekenrek 3) hoe kom je dan terug bij de 10? 4) hoeveel moet je er dan nog afhalen? 5) als je dat van de 10 afhaalt, wat houd je dan over? Dek dan steeds een of meer van deze stappen af en laat de leerlingen steeds meer zelf doen en dit hardop verwoorden. |
4.4. Begeleid het oefenen
Leraren moeten bij de eerste pogingen van hun leerlingen dichtbij blijven. Dit is belangrijk enerzijds om te zorgen dat leerlingen niet klem komen te zitten of zich verkeerde procedures eigen maken en anderzijds om zeker te stellen dat leerlingen (liefst) geen fouten maken en zelfvertrouwen opbouwen. Dit vergt begeleiding van het oefenen en direct feedback krijgen op mogelijke fouten. Ten slotte moeten leerlingen de tijd en ruimte krijgen zelfstandig te oefenen om de kennis te automatiseren en hun gevoel van beheersing (self-efficacy: ik kan het wel!) op te bouwen.
| Principe: Begeleid het oefenen | Voorbeeld: getallenlijn tot 1.000 | Voorbeeld: optellen en aftrekken tot 20 |
|---|---|---|
| Begeleid het oefenen. Uit Rosenshine’s onderzoek blijkt dat leraren die meer tijd besteden aan het begeleiden van de oefening hogere leerresultaten bereiken met hun leerlingen. Hierbij oefenen de leerlingen de lesstof in kleine stapjes, terwijl de leraar vragen stelt en controleert op begrip of fouten. Als je leerlingen te kort begeleidt maken ze meer fouten tijdens het zelfstandig oefenen. | Dit heet bij EDI ‘begeleid inoefenen’. Gebruik bijvoorbeeld het Grimm-model waarbij de leraar geleidelijk, stap voor stap, de verantwoordelijkheid van de les bij de leerling legt in de ritmiek ‘ik-wij-jullie-jij’. Waarbij je eerst zelf modelt (‘ik’), dan tijdens deze instructie de stappen zet met al je leerlingen (‘wij’), ze het vervolgens laat oefenen in tweetallen (‘jullie’) bijvoorbeeld ‘geef elkaar een getal en zoek die op: 539 en 362 waarbij je dat doet op de manier die we net klassikaal samen hebben gedaan’ en tenslotte individueel oefenen (‘jij’). | Dit heet bij EDI ‘begeleid inoefenen’. Gebruik bijvoorbeeld het Grimm-model waarbij de leraar geleidelijk, stap voor stap, de verantwoordelijkheid van de les bij de leerling legt in de ritmiek ‘ik-wij-jullie-jij’. Waarbij je eerst zelf modelt (‘ik’), dan tijdens deze instructie de stappen zet met al je leerlingen (‘wij’), ze het vervolgens laat oefenen in tweetallen (‘jullie’) bijvoorbeeld ‘Geef elkaar een som, bijvoorbeeld 16-7, waarbij je die uitvoert op de manier die we net samen hebben gedaan met het rekenrek en verwoord hardop de stappen die je zet’ en eindig met individueel oefenen (‘jij’). |
| Principe: Zorg voor een hoog succespercentage | Voorbeeld: getallenlijn tot 1.000 | Voorbeeld: optellen en aftrekken tot 20 |
|---|---|---|
| Zorg voor een hoog succespercentage. Volgens Rosenshine is een optimaal succespercentage 80%. Dit is de beste balans tussen geslaagde oefening en voldoende uitdaging. Als leerlingen teveel fouten maken, dan is het waarschijnlijk dat ze misvattingen gaan vormen. | Ga pas door naar de volgende ‘ik-wij-jullie-jij’ fase als de vorige fase succesvol is (minimaal 80%). Succes hier is tweeledig: 1) een getal kunnen aflezen, 2) een getal kunnen plaatsen op de getallenlijn. Hoe bepaal je je succespercentage? Bijvoorbeeld na de ‘ik’-fase stel je vragen om te begrijpen of ze het concept en de procedure hebben begrepen. Bijvoorbeeld ‘kun je verwoorden wat ik net voordeed bij het vinden van 541 op de getallenlijn?’. Of in de ‘jullie’-fase heb je een klassikale vraag op het bord staan en – nadat ze in tweetallen de opdracht hebben gemaakt – vraag je via beurtstokjes wat hun antwoord was en hoe ze erop kwamen (de procedure)? | Ga pas door naar de volgende ‘ik-wij-jullie-jij’ fase als de vorige fase succesvol is (minimaal 80%). Succes hier is tweeledig: 1) dat ze weten hoe ze bij de 10 komen en daarna de rest er afhalen 2) dat ze deze sommen vlot kunnen uitvoeren op het rekenrek. Hoe bepaal je je succespercentage? Bijvoorbeeld na de ‘ik’-fase stel je vragen om te begrijpen of ze het concept en de procedure hebben begrepen. Bijvoorbeeld ‘kun je verwoorden wat ik net voordeed bij het uitrekenen van de som 14-6?’. Of in de ‘jullie’-fase heb je een klassikale vraag op het bord staan en – nadat ze in tweetallen de opdracht hebben gemaakt – vraag je via beurtstokjes wat hun antwoord was en hoe ze erop kwamen (de procedure)? |
| Principe: Laat zelfstandig oefenen | Voorbeeld: getallenlijn tot 1.000 | Voorbeeld: optellen en aftrekken tot 20 |
|---|---|---|
| Laat zelfstandig oefenen. Dit is essentieel voor beheersing als belangrijke stap op weg naar volledige automatisering van een vaardigheid of kennis. Beheersing is een belangrijk element van het leerproces, omdat dit het werkgeheugen vrijmaakt. Zelfstandig oefenen moet voortbouwen op geslaagd begeleid oefenen. | We zijn nu in de ‘jij’-fase. Je brengt veel variatie aan in de oefening. Je gebruikt nu zowel productvragen (‘welk getal staat er bij het vraagteken op deze getallenlijn?’ of ‘waar is getal 541 op de getallenlijn?’, ‘waar staat ongeveer getal 541 op deze getallenlijn met enkel honderdtallen?’) als procesvragen (bijvoorbeeld ‘teken op de getallenlijn hoe je bij 541 komt op de getallenlijn’) | We zijn nu in de ‘jij’-fase. Je brengt veel variatie aan in de oefening. Je gebruikt nu zowel productvragen (‘geef een verhaal bij deze som’, ‘welk van deze sommen gaat door het tiental heen: 17-4, 17-9, 15-3, …?’, alternatieve sommen zoals 14-..=8) als procesvragen (bijvoorbeeld, ‘hoe reken je deze som uit op het rekenrek / de kralenketting / de getallenlijn / ..?’) |
4.5 Maak gebruik van dit type instructieprincipes in jouw klas
Om te oefenen in het gebruiken van zulke principes kun je hier een A4tje downloaden. Op dit A4tje staat de beschrijving van deze tien principes. Bovendien is er ruimte om voor een nieuwe rekenbewerking uit te werken hoe je een aantal van deze principes in de klas kunt aanpakken. Dat uitwerken van een volgende rekenles gaat het beste samen met een collega. Waarna je elk in je klas uitprobeert wat je samen bedacht hebt.
Houd hierbij in gedachten dat het overzicht van Rosenshine geen afvinklijst is, maar als handvat kan dienen voor jou om na te denken over je lessen
Handvat 5 - Versterk van getalbegrip bij het jonge kind
Goed getalbegrip bij het jonge kind (groep 1 en 2) is van belang om latere rekenproblemen te voorkomen. Dit getalbegrip – het kennen van de telrij tot 20 en ermee kunnen werken– kun je creëren door een mix van acties in de klas.
5.1. Het belang van getalbegrip.
Om in groep drie een start te maken met het leren van een aantal basisbewerkingen zoals optellen en aftrekken, moet een kind weten en begrijpen wat je met getallen kunt. Dit getalbegrip krijgen de meeste kinderen via een natuurlijk proces dat ontstaat door informeel leren, zowel thuis als op school. Echter, deze informele kennis ontstaat niet bij alle kinderen spontaan en zonder instructie. Vooral kinderen van ouders uit een lagere sociaaleconomische klasse krijgen minder van huis mee. We zien daarom bij kinderen op vijfjarige leeftijd al een groot verschil in het kunnen omgaan met getallen. Onderzoek laat zien dat onderontwikkeld getalbegrip de kans op latere rekenproblemen vergroot. Daarom is het van groot belang in de onderbouw bewust aan getalbegrip te werken.
5.2. Wat bedoelen we met getalbegrip?
Met de telrij tot 20 kunnen werken is de belangrijkste voorspeller voor optellen en aftrekken in groep drie en vier.
Allereerst is het belangrijk de telrij tot 20 te kennen. En daarbij vooruit en achteruit te kunnen tellen: vanaf het begin van de telrij, het einde én vanaf een willekeurig punt in de telrij.
Naast het kennen van de telrij zijn er vier toepassingen van deze telrij belangrijk voor een goede start in groep drie:
- Goed kunnen schatten van kleine hoeveelheden (‘dat zijn drie appels’)
- Vlot kunnen benoemen van getallen (‘dat is een drie’)
- Vlot kunnen vergelijken van twee getallen van één cijfer (‘vier is meer dan drie’)
- Uit het hoofd kunnen optellen en aftrekken van kleine getallen (‘vier min drie is een’)
Naast deze cognitieve kant is in de onderbouw aandacht nodig voor plezier in rekenen, als een manier om de omgeving te beschrijven.
5.3. Zo creëer je getalbegrip
Er zijn zes dingen die je kunt doen om in de onderbouw getalbegrip te vergroten. Daarbij is het belangrijk je te realiseren dat niet alle getalbegrip spontaan zal ontstaan; curriculum en instructie zijn essentiële factoren in dit rijtje:
- Creëer een rijke omgeving: het klaslokaal bevat een rijkheid van materialen die getalbegrip stimuleren, zoals blokken, spelletjes en puzzels.
- Laat kinderen spelenderwijs leren: we weten dat kinderen getalbegrip deels ook ontwikkelen door te spelen met hoeveelheden en dit te benoemen. Let op: we hebben het hier niet over ‘ontdekkend’ leren, maar over het doelgericht inzetten van spelen om te leren.
- Gebruik leermomenten. Een leermoment is een vorm van ondersteuning door de leraar. Waarbij een spontaan moment in het spel van kinderen wordt gebruikt om iets uit te leggen of te laten ervaren over getallen.
- Voer projecten uit. Deze projecten start je als leraar. Bijvoorbeeld het maken van een plattegrond van de klas. Zo’n project vergt meten en vergelijken en heeft een praktische aantrekkingskracht voor kinderen.
- Bedenk wat je wilt dat leerlingen leren. Niet alle getalbegrip zal spontaan ontstaan, daar is een curriculum voor nodig met wat je kinderen wilt bijbrengen.
- Geef instructie. Omdat spelen alleen niet voldoende is, is instructie nodig. Dit volgt precies dezelfde principes als beschreven in de paragraaf ‘Verhogen kwaliteit rekeninstructie’. Oftewel, herhalen, vragen stellen, introduceren en oefenen.
Vaak zijn volwassenen bevreesd om rekenen bij jonge kinderen te introduceren. Die zorg is onterecht: het is toch fascinerend als je als kind de grootste van twee cijfers kunt benoemen? En belangrijk dat ze zonder achterstand starten in groep drie.
Handvat 6 – Pas formatief handelen toe
Onderzoek laat zien dat het gebruik van toetsgegevens om het leerproces te verbeteren, positief samenhangt met rekenprestaties.
De gestructureerde opbouw van het curriculum met keuzes voor efficiënte rekenprocedures die we beschreven de paragraaf ‘Kies voor efficiënte basis-procedures per rekenbewerking‘ geeft je de mogelijkheid om het leerproces van leerlingen te observeren en jouw instructie bij te sturen. Bijvoorbeeld, als je merkt dat kinderen optellen tot 10 nog niet voldoende beheersen, dan heeft het geen zin om door te gaan naar optellingen tot 20 met een sprong over het tiental.
Toetsgegevens laten zien wat leerlingen al kennen en kunnen en waar zich hiaten voordoen. Maar deze gegevens maken niet duidelijk hoe het rekenproces verloopt en waarom het eventueel fout gaat. Daarvoor moet je als leraar het rekenen-in-uitvoering van de leerling observeren. Samen geven toetsgegevens en observaties jou als leraar de feedback die jij nodig hebt om je instructie bij te stellen. Door op deze manier formatief te handelen kun je meer bereiken met je leerlingen.
Over hoe je formatief handelen toepast kun je veel bronnen vinden, bijvoorbeeld Doorloopjes.nl of op Toetsrevolutie.nl. Daarom bespreken we formatief handelen in dit artikel maar summier.
Waarom psychologisch onderzoek bij rekenproblemen vaak de plank misslaat
Even een intermezzo. Alle acht werkzame factoren die we hier beschrijven hebben te maken met het schoolteam of de individuele leraar. Nergens wijzen we naar de leerling als oorzaak voor mogelijke tekortkomingen. Toch worden in Nederland veel leerlingen die achterstanden oplopen met rekenen psychologisch onderzocht, waarbij met tests gezocht wordt naar onderliggende verklaringen die niet in het rekenen-in-uitvoering zelf liggen.
De vraag is waarom de meeste gedragsdeskundigen bij problemen in het rekenen bijna vanzelfsprekend het psychologisch onderzoek invullen met IQ-tests, intelligentieprofielen en onderzoek van specifieke functies (tests voor aandacht, planning, geheugen, benoemsnelheid, …) en daarop hun advies baseren?
Empirisch onderzoek laat namelijk zien dat een training van het werkgeheugen of de snelheid van informatieverwering niet tot beter rekenen leidt. De conclusie is dan dat werkgeheugen en snelheid van informatieverwerking niet de oorzaak zijn van de automatiseringsproblemen bij rekenen. Waarom dan erop testen?
We geven enkele argumenten waarom de werkwijze van deze gedragsdeskundigen op een misverstand gebaseerd zijn:
- Leren doet weliswaar een beroep op een algemeen leervermogen (intelligentie), maar de gevonden samenhang tussen resultaten op een IQ-test en de prestaties op schoolvorderingentoetsen waarin automatiseren een rol speelt, is in wetenschappelijke onderzoeken zwak. Van de meest gebruikte IQ-test, de WISC-V-NL, is zelfs geen wetenschappelijk onderzoek bekend waaruit de samenhang met rekenprestaties is af te leiden.
- In de criteria voor de onderkennende diagnose van hardnekkige problemen in de automatisering van basale rekenkennis (‘dyscalculie’) speelt IQ geen enkele rol.
- Gedragsdeskundigen zeggen dikwijls: “Wij hechten veel belang aan de analyse van de sterke en zwakke punten in het intelligentieprofiel, vooral voor het geven van hulp.” Er is echter geen wetenschappelijk bewijs dat de profielanalyse zinvolle aanknopingspunten voor remediëring oplevert.
Waar liggen dan wel de aanknopingspunten voor het remediëren van rekenproblemen? Die liggen in de kwaliteit van de rekenkennis van leerlingen. Alleen door het nauwkeurig afstemmen van de instructie op wat de leerling weet en kan is verbetering mogelijk. Dit afstemmen is een vorm van individueel maatwerk. Gedragsdeskundigen die gespecialiseerd zijn in instructie- en rekenleerprocessen kunnen daarom beter hun energie steken in de analyse van het rekenen-in-uitvoering en in de wijze waarop een leerling reageert op rekeninstructie.
Handvat 7 - Vergroot zelfvertrouwen op basis van ervaren succes
Het ervaren van succes is de beste motivator voor leerlingen om te leren en helpt rekenangst tegen te gaan.
7.1. Vergroot motivatie door succes te laten ervaren
Het effect van motivatie op rekenprestaties lijkt op het eerste gezicht simpel en aansprekend: als leerlingen gemotiveerd zijn, dan leren ze meer. Omdat het idee dat motivatie leidt tot leren zo aansprekend is, is het geen verrassing dat er veel initiatieven zijn om leerlingen te motiveren: door sterren te geven, door spelvormen of door lessen op andere manieren leuk te maken. In de praktijk haalt dit vaak weinig uit. Onderzoek laat zien dat de beste manier om leerlingen te motiveren is door hen te laten leren, dat wil zeggen laat ze succes ervaren!
Kortom, wat leerlingen motiveert om verder te leren is het ervaren van succes en het krijgen van een gevoel van voldoening bij het leren. Hoe zorg je voor deze succeservaringen? Dat beschreven we in de vorige paragrafen: het één voor één aanbieden van efficiënte reken-procedures, het verhogen van de kwaliteit van de instructie, het versterken van het getalbegrip bij het jonge kind, et cetera. Door het onderwijs zo vorm te geven leren leerlingen het meest, raken zij meer gemotiveerd en blijven ze leren.
7.2. Verminder rekenangst door succes te laten ervaren
Als kinderen rekenangst hebben, dan leren ze minder. Rekenangst is een gevoel van spanning of vrees bij het maken van rekentaken. In de eerste jaren van het basisonderwijs lijken kinderen geen of weinig last van rekenangst te hebben. Rekenangst openbaart zich bij leerlingen meestal vanaf groep zes of zeven. Het kan zijn dat slechte prestaties, d.w.z. het ontbreken van succeservaringen rekenangst uitlokt, waarna er een vicieuze cirkel ontstaat waarbij rekenangst de prestaties verder verslechtert. Met name bij leerlingen met automatiseringsproblemen is er een flinke kans op rekenangst als gevolg van negatieve leerervaringen en onvoorspelbare fouten.
Om deze faalangst tegen te gaan zijn twee dingen van belang:
- Zorg voor succeservaringen. De aanpak die we beschreven in de vorige paragrafen is gericht op het creëren van beheersing van de stof door de leerling. Bijvoorbeeld, ga niet door naar een volgende rekenbewerking, vóórdat de leerling de voorgaande rekenbewerkingen beheerst. Daarmee voorkom je fouten en daarmee rekenangst. Een uitzondering is het gebruik leren maken van technische middelen. We komen daar in de volgende paragraaf op terug.
- Voorkom negatieve feedback. Wat niet werkt is het geven van negatieve feedback die het gebrek aan zelfvertrouwen van leerlingen bevestigt. Onderzoek toont aan dat dergelijke feedback rekenangst aanwakkert. Als dezelfde leerling positieve aanmoediging en feedback krijgt, dan is het geloof in eigen kunnen (“je kunt meer dan je denkt”) van de leerling hoger en leert de leerling meer.
Handvat 8 - Geef technische ondersteuning aan de leerling
Wanneer technologische hulpmiddelen worden ingezet, blijkt dat een positief effect te hebben op rekenprestaties bij leerlingen. Er bestaat echter nog geen consensus over de grootte van het effect en welk type technologie de meeste invloed heeft op rekenen. We bespreken hier twee vormen van hulpmiddelen: rekenmachines en reken-apps.
8.1. Zet de rekenmachine in om specifieke leerlingen voor een achterstand te behoeden
Eén van de wettelijk vastgelegde kerndoelen voor in het Nederlandse basisonderwijs luidt: ‘De leerlingen leren de rekenmachine met inzicht te gebruiken’. Een meta-analyse van de effecten van rekenmachines op reken- en wiskunderesultaten – in de VS gepubliceerd door het National Council of Teachers of Mathematics – laat zien dat de inzet van rekenmachines leidt tot een toename van reken- en wiskundevaardigheden.
Maar, wanneer zet je de rekenmachine in? Maken we in dit artikel niet juist het punt dat leerlingen de basisbewerkingen moeten automatiseren, dat wil zeggen foutloos en vlot kunnen uitvoeren en begrijpen wat ze doen?
De rekenmachine heeft in het bijzonder een meerwaarde voor leerlingen die de basisbewerkingen minder goed of niet automatiseren. Het gaat dan om maximaal 4% van alle leerlingen die dit probleem hebben, ondanks goede instructie en oefening. Gebruik van de rekenmachine vermindert bij hen de belasting van het werkgeheugen en helpt hen bij het leren oplossen van meer complexe rekenproblemen. Ze hoeven met de rekenmachine erbij minder tussenstappen te onthouden.
Wat belangrijk is dat de leraar met deze leerlingen blijft werken aan het automatiseren van de rekenbewerkingen die de leerling nog niet onder de knie heeft. Maar terwijl de leraar dit doet, kan de leerling wel mee met de rest van de klas en loopt geen onnodige achterstand op. Bovendien voorkomt het gebruik van de rekenmachine op deze manier dat de leerling een hekel krijgt aan rekenen.
8.2. Gebruik rekenapps
Reken-apps kun je gebruiken om leerlingen te laten oefenen. Zij geven de mogelijkheid om leerlingen veel te laten oefenen met waar zij moeite mee hebben en geven de leraar nuttige informatie over de vorderingen van individuele leerlingen.
Echter, bij het gebruik van deze apps is het belangrijk dat de wijze waarop de reken-app de leerling ondersteunt met het uitvoeren van een rekenbewerking overeenkomt met de instructie door de eigen leraar. Als de leraar bijvoorbeeld kiest voor de rijgprocedure bij het optellen, dan is het niet verstandig een app te gebruiken die gebruik maakt van een splitsprocedure.
Ten slotte: Hoe pas je deze acht handvatten toe op school?
In dit artikel hebben we acht handvatten beschreven die elk bijdragen aan het automatiseren van rekenen, waarmee je de basis legt voor het verhogen van reken- en wiskunderesultaten. Deze factoren werken elk apart, maar het meest effect zul je bereiken door alle acht toe te passen.
Maar hoe kom je tot een aanpak om deze factoren toe te passen? Hoe pas je deze lessen uit onderwijsonderzoek toe in de eigen lespraktijk?
Dat is niet een kwestie van het lezen van artikelen of het kopen van een nieuwe methode. Om onderzoek effectief toe te passen heb je veel meer nodig. We noemden bij het derde handvat (‘Zorg voor een kwaliteitscultuur op school’) al de leidraad ‘Werken aan onderwijsverbetering’ van de NRO. Met daarin zes aanbevelingen voor op school.
De eerste aanbeveling in deze leidraad is te komen tot een onderbouwd en gedragen verbeterplan. Dat begint met een gedegen analyse van jullie rekenonderwijs. Wat zegt data? Wat herkennen jullie van deze acht handvatten: wat doe je al goed? wat kan beter? Op basis van deze analyse maak je een plan waarin je keuzes maakt voor welke lessen uit onderwijsonderzoek jullie gaan toepassen, en wat jullie daarvoor nodig hebben.
De andere vijf aanbevelingen van het NRO hebben allemaal te maken met de schoolcultuur. De reden daarvoor is dat bij een lerende cultuur in jullie schoolteam het gebruik van onderzoek meer kans op succes heeft. Hoe creëer je zo’n cultuur bij jullie op school? In dit artikel geven we concrete handvatten uit de leerKRACHT-praktijk op 1.300 Nederlandse scholen die succesvol zo’n cultuur bouwden.
We hopen met dit overzichtsartikel over automatisering van rekenbewerkingen jullie handvatten te hebben gegeven om reken- en wiskunderesultaten op school te versterken. Waarmee je je leerlingen meer kansen biedt in vervolgopleidingen en hun verdere leven. We wensen jou en je collega’s veel succes en plezier bij het toepassen van deze ideeën.
Wil je meer horen over deze praktische handvatten voor beter rekenonderwijs?
Bronnen
Kader 1: De stand van zaken van het Nederlandse rekenonderwijs
- Staat van het Onderwijs, Onderwijsinspectie, 2022
- Peil Taal en Rekenonderwijs einde basisschool, Inspectie, 2019
- Life paths and accomplishments of mathematically precocious males and females four decades later, Lubinski, Benbow, Kell, 2014
- Does Numeracy Matter More, Parsons en Bynner, 2005
Kader 2: Het belang van het automatiseren van basisbewerkingen
- Automatiseren basisbewerkingen bij rekenen en wiskunde, Inspectie, 2011
Kader 3: Het onderscheid tussen automatiseren en memoriseren
- Not a One-Way Street: Bidirectional Relations Between Procedural and Conceptual Knowledge of Mathematics, Rittle-Johnson et al, 2015
- Ruijssenaars, A.J.J.M. & Ruijssenaars-Elshoff, C. Th. G. Berekend! Van rekenprobleem tot dyscalculie. Niet-geautomatiseerde basiskennis als centraal probleem, 2021
Deel 2 introductie
- Automatiseren basisbewerkingen bij rekenen en wiskunde, Inspectie, 2011
Handvat 1 - Kies voor efficiënte rekenprocedures
- Ruijssenaars, A.J.J.M. & Ruijssenaars-Elshoff, C. Th. G. Berekend! Van rekenprobleem tot dyscalculie. Niet-geautomatiseerde basiskennis als centraal probleem, 2021
- Het rekenmuurtje van Bareka, Bareka
Handvat 2 - Plan voldoende tijd voor rekenen
- Ruijssenaars, A.J.J.M. & Ruijssenaars-Elshoff, C. Th. G. Berekend! Van rekenprobleem tot dyscalculie. Niet-geautomatiseerde basiskennis als centraal probleem, 2021
- Mastery Learning and Instructional Design, Gagne, 1988
Handvat 3 - Zorg voor een kwaliteitscultuur op school
- Schoolverschillen in het primair onderwijs, Inspectie, 2020
- Een verstevigd fundament voor iedereen, McKinsey, 2020
- Automatiseren basisbewerkingen bij rekenen-wiskunde, Inspectie, 2011
- Leidraad werken aan onderwijsverbetering, NRO, 2022
- Een onderzoekscultuur op school? Hoe je de leidraad van de NRO in de praktijk kunt toepassen, stichting leerKRACHT, 2022
Handvat 4 - Verhoog kwaliteit rekeninstructie
- De tien instructieprincipes van Rosenshine, Doorloopjes, 2022
Handvat 5- Versterken getalbegrip bij het jonge kind
- Learning through play is more than play, Kirschner en Neelen, 2020
- Berekend! Van rekenprobleem tot dyscalculie, Ruijssenaars en Ruijssenaars-Elshoff, 2021
- Mathematics Education for Young Children:
What It is and How to Promote It , Ginsburg, Leen en Boyd, 2008 - Hornung, C., Schiltz, C., Brunner, M., & Martin, R. (2014) Predicting first-grade mathematics achievement: the contributions of domain-general cognitive abilities, nonverbal number sense, and early number competence. Front Psychol, 2014, 5:272.
- Koponen, T., Salmi, P., Torppa, M., Eklund, K., Aro, T., Aro, M., Poikkeus, A.-M., Lerkkanen, M.-K., & Nurmi, J.-E. (2016). Counting and rapid naming predict the fluency of arithmetic and reading skills. Contemporary Educational Psychology, 44-45, 83–94.
Handvat 6 – Pas formatief handelen toe
- Rekenen op de basisschool, M. Hickendorff et al, 2017
Handvat 7 - Vergroot zelfvertrouwen op basis van ervaren succes
- Motivation and learning: what comes first?, Muijs, 2022
- The relationships among working memory, math anxiety, and performance, Ashcraft & Kirk, 2001
- The chicken or the egg? The direction of the relationship between mathematics anxiety and mathematics performance, Carey & Hill, 2016
- The math anxiety-math performance link and its relation to individual and environmental factors: A review of current behavioral and psychophysiological research, Chang & Beilock, 2016
Handvat 8 - Geef technische ondersteuning aan de leerling
- Rekenen op de basisschool, M. Hickendorff et al, 2017
- Calculator Use in Elementary Grades, NCTM, 2015
- A Meta-Analysis of the Effects of Calculators on Students’ Achievement and Attitude Levels in Precollege Mathematics Classes, Ellington, 2003
- Using Calculator-Assisted Instruction to Enhance Low-Achievers in Learning Number Sense: A Case Study of Two Fifth Graders in Taiwan, Yang & Yung-Chi Lin, 2015
- Effects of Calculators on Mathematics Achievement and Attitudes of Ninth-Grade Students, Close et al, 2012
- The_effectiveness_of_educational_technology_applications_for_enhancing_mathematics_achievement_in_K-12_classrooms_A_meta-analysis Cheung & Slavin, 2022
- The potential of digital tools to enhance mathematics and science learning in secondary schools: A context-specific meta-analysis, Hillmayr et al, 2020
Wil je meer weten over het verbeteren van de basisvaardigheden op jouw school?
Wil je dit artikel nog eens rustig nalezen?
Download en print het via onderstaande button.
Wil je in gesprek met een Expertcoach over het verbeteren van jullie rekenonderwijs? Neem dan contact met ons op!
